CASO 1: Contaminación del agua por descomposición de basura.
Cuando se descompone residuos orgánicos en un volumen de agua, el contenido de oxígeno del agua se reducetemporalmente por oxidación. Suponga que t días después de descargar aguas residuales sin tratar en un lago, la proporción P del contenido usual de oxígeno que permanece en el lago está dada por la función:
a) Use un software para graficar la función y redacte el comportamiento de P a medida que el tiempo transcurre. ¿Qué sucede con la proporción de oxígeno en el agua si el tiempo crece indefinidamente?
Donde t=0, es la asíntota vertical.
A medida que el tiempo transcurre, la proporción de oxígeno en el lago disminuye hasta que se vuelve constante.
b) Determine la razón a la que cambia la proporción de oxígeno P(t) después de 10 años.
En ese momento, ¿La proporción está creciendo o decreciendo?
Llamamos razón de cambio o tasa de cambio a la derivada de una función. Por lo tanto, para obtener la razón a la que cambia la proporción de oxígeno debemos hallar la derivada de la función.
Entonces,
Aplicamos regla de la cadena:
Luego, para encontrar la razón de cambio después de 10 días, reemplazamos en la nueva función t=10.
Rta: Como el valor de la razón de cambio es negativo, es posible decir que la proporción de oxígeno después de 10 días está decreciendo.
c) Después de 15 días, ¿La proporción está creciendo o decreciendo?
En este caso, debemos reemplazar en la función .
Rta: Como el valor de la razón de cambio es positiva, es posible decir que la proporción de oxígeno está creciendo.
d) Si no se descargan más aguas residuales, ¿qué se espera que suceda con la proporción de oxígeno? Justifique su respuesta usando límites.
Para evaluar lo que sucederá si no se descargan más aguas residuales, debemos obtener el límite de la función cuando t tiende al +infinito.
Como los exponentes en el numerador y en el denominador son iguales,
Rta: Si no se descargan más aguas residuales, la proporción de oxígeno en el lago a medida que el tiempo transcurre será 1.
CASO 2: Descarga de basura en los rellenos informales
La descarga de basura en los rellenos informales, así como otras operaciones de manipulación de materiales en las cercanías, ocasiona que partículas contaminadas se emitan al aire circundante. Para estimar estas emisiones de partículas, se puede usar la siguiente fórmula empírica:
donde E es el factor de emisión (libras de partículas emitidas al aire por tonelada de suelo
movido), M es el contenido de humedad del
material (dado como porcentaje) y k es una
constante que depende del tamaño de las partículas.
a) Para una partícula de 5mm de diámetro
resulta que k=0,2. Determine el valor de
E(0,88) e interprete el valor obtenido.
Para obtener el valor de E(0,88), debemos reemplazar en E(M) los
siguientes valores, k=0,2; M=0,88
Cuando el diámetro de la partícula es de 5mm y el contenido
de la humedad del material es 0,88%, (1,61)(1/10)(1/10)(1/10)(lb/tn) de partículas son emitidas al aire por tonelada de suelo movido.
b) El factor de emisión E se puede multiplicar por el número de toneladas de material manipulado, para alcanzar una medida del total de emisiones. Con los datos del inciso a), calcule el total de emisiones si se manipulan 19 toneladas de material.
Según los datos del inciso a), la cantidad de emisiones por tonelada (E) es (1,61)(1/10)(1/10)(1/10). La cantidad de toneladas manipuladas son 19. De tal forma que,
Si se manipulan 19 toneladas, el total de emisiones es 0,0306lb.
c) Calcule el número de toneladas de una segunda clase de material con k=0,48(díametro 15mm) y contenido de humedad 27% deben manipularse para lograr el mismo nivel total de emisiones determinando en el inicio b).
En este caso, tenemos los siguientes datos, k=0,48; M=27; Total de emisiones=0;0306lb
El primer caso será calcular E(27):
Sabemos que,
Total de emisiones = (E)x Cantidad de toneladas manipuladas
Entonces,
Total de emisiones/E = Cantidad de toneladas manipuladas
Reemplazando, obtenemos que,
Para lograr el mismo nivel total de emisiones obtenidas en el inciso b) con una segunda clase de material, es necesario que 955,53tn de suelo sean manipuladas.
d) Use algún software para trazar la gráfica de E(M), bajo el supuesto que k=0,32 paraparículas de 10mm de díametro.
e) Use la derivada para estudiar el comportamiento de la fución E(M).
Se puede obtener la derivada de la función E(M) aplicando regla de la cadena.
